La formula mas hermosa

La formula mas hermosa

Ecuaciones bonitas

La fórmula de Euler, llamada así por Leonhard Euler, es una fórmula matemática del análisis complejo que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja. La fórmula de Euler establece que para cualquier número real x

donde e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, y cos y sin son las funciones trigonométricas coseno y seno respectivamente. Esta función exponencial compleja se denomina a veces cis x («coseno más seno»). La fórmula sigue siendo válida si x es un número complejo, por lo que algunos autores se refieren a la versión compleja más general como fórmula de Euler[1].

Exponiendo esta ecuación se obtiene la fórmula de Euler. Nótese que el enunciado logarítmico no es universalmente correcto para los números complejos, ya que un logaritmo complejo puede tener infinitos valores, que difieren en múltiplos de 2πi.

Alrededor de 1740, Leonhard Euler centró su atención en la función exponencial y derivó la ecuación que lleva su nombre comparando las expansiones en serie de las expresiones exponencial y trigonométrica[6][4] La fórmula se publicó por primera vez en 1748 en su obra fundacional Introductio in analysin infinitorum[7].

¿por qué es bella la identidad de euler?

La fórmula es importante porque conecta los números complejos y la trigonometría. Expandiendo el lado izquierdo y comparando después las partes real e imaginaria bajo el supuesto de que x es real, es posible derivar expresiones útiles para cos nx y sin nx en términos de cos x y sin x.

Tal como está escrita, la fórmula no es válida para potencias no enteras n. Sin embargo, existen generalizaciones de esta fórmula válidas para otros exponentes. Éstas pueden utilizarse para dar expresiones explícitas para las raíces n de la unidad, es decir, números complejos z tales que zn = 1.

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}Izquierda(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=Izquierda(\cos x+i\sin x\right)^{k}Izquierda(\cos x+i\sin x\\️)&&=izquierda(\cos kx+i\sin kx\️)&&qquad {\text{por la hipótesis de inducción}}&&=cos kx\cos x- \\año (\año) +i\año (\año) +i\año (\año) +i\año (k+1)x)&&qquad {{texto}{por las identidades trigonométricas}}end{alignat}}

Deducimos que S(k) implica S(k + 1). Por el principio de inducción matemática se deduce que el resultado es cierto para todos los números naturales. Ahora bien, S(0) es claramente verdadera ya que cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1. Por último, para los casos de números enteros negativos, consideramos un exponente de -n para n natural.

La prueba de la identidad de euler de dios

La belleza matemática es el placer estético que suele derivarse de la abstracción, la pureza, la simplicidad, la profundidad o el orden de las matemáticas. Los matemáticos suelen expresar este placer describiendo las matemáticas (o, al menos, algún aspecto de las mismas) como algo bello. También pueden describir las matemáticas como una forma de arte (por ejemplo, la postura de G. H. Hardy[1]) o, como mínimo, como una actividad creativa. A menudo se comparan con la música y la poesía.

Las matemáticas, bien vistas, no sólo poseen la verdad, sino la belleza suprema, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los adornos magníficos de la pintura o la música, pero sublimemente pura, y capaz de una perfección severa como sólo el arte más grande puede mostrar. El verdadero espíritu de deleite, la exaltación, el sentido de ser más que el Hombre, que es la piedra de toque de la más alta excelencia, se encuentra en las matemáticas tan seguramente como en la poesía[2].

En la búsqueda de una demostración elegante, los matemáticos suelen buscar diferentes formas independientes de demostrar un resultado, ya que la primera demostración que se encuentra puede ser a menudo mejorada. El teorema para el que se han descubierto más pruebas diferentes es posiblemente el teorema de Pitágoras, con cientos de pruebas publicadas hasta la fecha[4] Otro teorema que se ha demostrado de muchas maneras diferentes es el teorema de la reciprocidad cuadrática. De hecho, sólo Carl Friedrich Gauss tuvo ocho pruebas diferentes de este teorema, seis de las cuales publicó[5].

E^ipi/2

cuando se evalúa para x = π. La identidad de Euler se considera un ejemplo de belleza matemática, ya que muestra una profunda conexión entre los números más fundamentales de las matemáticas. Además, se utiliza directamente en una prueba[3][4] de que π es trascendental, lo que implica la imposibilidad de cuadrar el círculo.

La identidad de Euler se cita a menudo como un ejemplo de belleza matemática profunda[5] Tres de las operaciones aritméticas básicas ocurren exactamente una vez cada una: suma, multiplicación y exponenciación. La identidad también relaciona cinco constantes matemáticas fundamentales:[6]

El profesor de matemáticas de la Universidad de Stanford, Keith Devlin, ha dicho que «como un soneto de Shakespeare que capta la esencia misma del amor, o un cuadro que pone de manifiesto la belleza de la forma humana que va mucho más allá de la piel, la ecuación de Euler llega a lo más profundo de la existencia»[7]. [Y Paul Nahin, profesor emérito de la Universidad de New Hampshire, que ha escrito un libro dedicado a la fórmula de Euler y sus aplicaciones en el análisis de Fourier, describe la identidad de Euler como «de una belleza exquisita»[8].

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