Hay infinitos más grandes que otros infinitos

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Esto es un poco complicado para comparar dos pequeños conjuntos finitos como estos: es obvio que ambos tienen tres elementos y, por tanto, son del mismo tamaño. Sin embargo, cuando se trata de conjuntos infinitos, no podemos limitarnos a mirar los conjuntos y contar el número de elementos, ya que los conjuntos son eternos. Por lo tanto, esta definición más formal será muy útil.Conjuntos infinitos contablesNuestro nivel de referencia de infinito vendrá de nuestro conjunto infinito más básico: los números naturales mencionados anteriormente. Un conjunto que tiene el mismo tamaño que los números naturales -que puede ponerse en correspondencia uno a uno con los números naturales- se llama conjunto contablemente infinito. A primera vista, el conjunto de los números enteros, formado por los números naturales, sus números negativos y el cero, parece que debería ser mayor que los naturales. Al fin y al cabo, para cada uno de nuestros números naturales, como el 2 o el 10, acabamos de añadir un número negativo, -2 o -10. Pero los números enteros son contables: podemos encontrar una forma de asignar exactamente un número entero a cada número natural, rebotando entre números positivos y negativos:

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Hace poco escuché una expresión, algunos infinitos son más grandes que otros, y afirmaban que estaba demostrado que era así. No he podido encontrar esta prueba, y no soy tan aficionado a las matemáticas como antes, pero no creo que esta afirmación sea cierta. Tampoco sé cómo formatear los símbolos matemáticos aquí, así que perdóname si soy un poco vago.

Decir que algo es infinito simplemente dice que no es finito. Decir que tengo más de dos alumnos en mi clase no dice nada sobre si hay tres, o seis, o 42 alumnos en mi clase.

Hay varias formas de medir el tamaño de un conjunto, dependiendo del contexto. En el caso de los subconjuntos de $\Bbb R$ podemos preguntar cuál es su longitud, o cómo podemos aproximar su tamaño utilizando cosas que tienen longitud (es decir, intervalos). Esto nos da la teoría de la medida, y resulta que bajo algunos supuestos razonables no podemos asignar «longitud» a cada conjunto de números reales.

Si sólo queremos considerar conjuntos de números naturales, hay formas de medir el tamaño de esos conjuntos, de forma que se asigne a los conjuntos mayores y menores alguna noción de longitud que se ajuste a algún tipo de intuición.

El infinito entre 0 y 1

En un avance que desmiente décadas de sabiduría convencional, dos matemáticos han demostrado que dos variantes diferentes del infinito tienen en realidad el mismo tamaño. El avance aborda uno de los problemas más famosos e intratables de las matemáticas: si existen infinitos entre el tamaño infinito de los números naturales y el tamaño infinito mayor de los números reales.

El problema se identificó por primera vez hace más de un siglo. En aquella época, los matemáticos sabían que «los números reales son más grandes que los naturales, pero no cuánto más grandes». ¿Es el siguiente tamaño más grande, o hay un tamaño intermedio?», dijo Maryanthe Malliaris, de la Universidad de Chicago, coautora del nuevo trabajo junto con Saharon Shelah, de la Universidad Hebrea de Jerusalén y la Universidad de Rutgers.

En su nuevo trabajo, Malliaris y Shelah resuelven una cuestión relacionada de hace 70 años sobre si un infinito (llámese p) es más pequeño que otro infinito (llámese t). Demostraron que ambos son iguales, para sorpresa de los matemáticos.

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Hace poco leí La culpa en nuestras estrellas, de John Green, que ahora es una gran película que ha provocado robos en Ámsterdam y escasez de ojos secos en las salas de cine de todo el mundo. Una de las ideas que resuenan en Hazel, la narradora de 16 años de la historia, es la de que «algunos infinitos son más grandes que otros infinitos».

«Hay infinitos números entre el 0 y el 1. Hay 0,1 y 0,12 y 0,112 y una colección infinita de otros. Por supuesto, hay un conjunto infinito más grande de números entre 0 y 2, o entre 0 y un millón. Algunos infinitos son más grandes que otros infinitos…. No puedo decirte lo agradecido que estoy por nuestro pequeño infinito. Me diste para siempre dentro de los días numerados, y te lo agradezco».

El sentimiento es encantador, pero matemáticamente inexacto. Uno de los hechos más alucinantes que aprende un joven matemático es que, de forma específica y rigurosa, hay exactamente tantos números entre el 0 y el 1 como entre el 0 y el 2, el 0 y el millón, ¡o incluso en todo el conjunto de números reales! No te preocupes, es natural que tengas dudas al respecto. Parece imposible que un conjunto pueda tener el «mismo tamaño» que un conjunto que lo contenga más otras cosas. Pero ése es uno de los maravillosos misterios del infinito.

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