Caracteristicas de los numeros imaginarios

Caracteristicas de los numeros imaginarios

Qué son los números imaginarios

Representación geométrica de z y su conjugado z̅ en el plano complejo. La distancia a lo largo de la línea azul claro desde el origen hasta el punto z es el módulo o valor absoluto de z. El ángulo φ es el argumento de z.

En matemáticas, el plano complejo es el plano formado por los números complejos, con un sistema de coordenadas cartesianas tal que el eje x, llamado eje real, está formado por los números reales, y el eje y, llamado eje imaginario, está formado por los números imaginarios.

El plano complejo permite una interpretación geométrica de los números complejos. En la adición, se suman como vectores. La multiplicación de dos números complejos puede expresarse más fácilmente en coordenadas polares: la magnitud o módulo del producto es el producto de los dos valores absolutos, o módulos, y el ángulo o argumento del producto es la suma de los dos ángulos, o argumentos. En particular, la multiplicación por un número complejo de módulo 1 actúa como una rotación.

En el plano cartesiano se puede suponer que la arctangente toma valores de -π/2 a π/2 (en radianes), y hay que tener cierto cuidado en definir la función arctangente más completa para los puntos (x, y) cuando x ≤ 0.[nota 1] En el plano complejo estas coordenadas polares toman la forma

Por qué se inventaron los números imaginarios

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donde P es un polinomio con coeficientes en algún campo, a menudo el campo de los números racionales. Para muchos autores, el término ecuación algebraica se refiere sólo a las ecuaciones univariantes, es decir, a las ecuaciones polinómicas que implican sólo una variable. En cambio, una ecuación polinómica puede implicar varias variables. En el caso de varias variables (el caso multivariante), se suele preferir el término ecuación polinómica al de ecuación algebraica.

Algunas ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales, pero no todas, tienen una solución que es una expresión algebraica que puede encontrarse utilizando un número finito de operaciones que implican sólo esos mismos tipos de coeficientes (es decir, pueden resolverse algebraicamente). Esto puede hacerse para todas las ecuaciones de grado uno, dos, tres o cuatro; pero para las de grado cinco o más sólo puede hacerse para algunas ecuaciones, no para todas. Se ha dedicado una gran cantidad de investigación a calcular de forma eficiente aproximaciones precisas de las soluciones reales o complejas de una ecuación algebraica univariante (ver Algoritmo de búsqueda de raíces) y de las soluciones comunes de varias ecuaciones polinómicas multivariantes (ver Sistema de ecuaciones polinómicas).

Para qué se utilizan los números imaginarios

En el siglo XIX, los sistemas numéricos llamados cuaterniones, tesarinos, cocuaterniones, bicuaterniones y octoniones se convirtieron en conceptos establecidos en la literatura matemática, que se sumaron a los números reales y complejos. El concepto de número hipercomplejo los englobaba a todos y exigía una disciplina para explicarlos y clasificarlos.

El proyecto de catalogación comenzó en 1872, cuando Benjamin Peirce publicó por primera vez su Álgebra Lineal Asociativa, y fue llevado adelante por su hijo Charles Sanders Peirce[1]. Lo más significativo es que identificaron los elementos nilpotentes e idempotentes como números hipercomplejos útiles para las clasificaciones. La construcción Cayley-Dickson utilizó involuciones para generar números complejos, cuaterniones y octoniones a partir del sistema de números reales. Hurwitz y Frobenius demostraron teoremas que ponían límites a la hipercomplejidad: el teorema de Hurwitz dice que las álgebras de composición real de dimensión finita son los reales

Fue el álgebra matricial la que aprovechó los sistemas hipercomplejos. Primero, las matrices aportaron nuevos números hipercomplejos como las matrices reales de 2 × 2 (véase Split-quaternion). Pronto el paradigma matricial empezó a explicar los demás al pasar a ser representados por matrices y sus operaciones. En 1907 Joseph Wedderburn demostró que los sistemas hipercomplejos asociativos podían representarse mediante matrices cuadradas, o producto directo de álgebras de matrices cuadradas[3][4] A partir de esa fecha el término preferido para un sistema hipercomplejo pasó a ser álgebra asociativa, como se ve en el título de la tesis de Wedderburn en la Universidad de Edimburgo. Nótese, sin embargo, que los sistemas no asociativos, como los octoniones y los cuaterniones hiperbólicos, representan otro tipo de número hipercomplejo.

¿son los números imaginarios números reales?

Un número imaginario es un número complejo que puede escribirse como un número real multiplicado por la unidad imaginaria i,[nota 1] que se define por su propiedad i2 = -1.[1][2] El cuadrado de un número imaginario bi es -b2. Por ejemplo, 5i es un número imaginario y su cuadrado es -25. Por definición, el cero se considera tanto real como imaginario[3].

Acuñado originalmente en el siglo XVII por René Descartes[4] como un término despectivo y considerado ficticio o inútil, el concepto ganó una amplia aceptación tras los trabajos de Leonhard Euler (en el siglo XVIII) y Augustin-Louis Cauchy y Carl Friedrich Gauss (a principios del siglo XIX).

Un número imaginario bi puede sumarse a un número real a para formar un número complejo de la forma a + bi, donde los números reales a y b se llaman, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria del número complejo[5][nota 2].

Aunque el matemático e ingeniero griego Héroe de Alejandría es señalado como el primero en concebir los números imaginarios,[6][7] fue Rafael Bombelli quien estableció por primera vez las reglas de multiplicación de los números complejos en 1572. El concepto había aparecido antes en la prensa, por ejemplo en la obra de Gerolamo Cardano. En aquella época, los números imaginarios y los números negativos no se comprendían bien y algunos los consideraban ficticios o inútiles, al igual que el cero. Muchos otros matemáticos tardaron en adoptar el uso de los números imaginarios, incluido René Descartes, que escribió sobre ellos en su obra La Géométrie en la que se utilizaba el término imaginario y se pretendía que fuera despectivo[8][9] El uso de los números imaginarios no fue ampliamente aceptado hasta los trabajos de Leonhard Euler (1707-1783) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855). El significado geométrico de los números complejos como puntos en un plano fue descrito por primera vez por Caspar Wessel (1745-1818)[10].

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